Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matriks menggunakan excel

https://yos3prens.wordpress.com/2014/12/13/menyelesaikan-sistem-persamaan-linear-dengan-matriks/

Salah satu alasan mengapa perkalian matriks didefinisikan sebagai jumlah dari baris × kolom adalah untuk membantu penulisan sistem persamaan linear sebagai satu persamaan matriks. Persamaan tersebut terdiri dari matriks konstanta B di ruas kanan, dan perkalian dari matriks koefisien A dan matriks variabel X di ruas kiri. Untuk sistem persamaan linear berikut:

persamaan matriksnya adalah,

Perhatikan bahwa dengan menghitung perkalian matriks di ruas kiri akan menghasilkan sistem persamaan linear seperti yang di awal.

Setelah ditulis ke dalam persamaan matriks, sistem tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks invers dan langkah-langkah berikut ini. Jika A merepresentasikan matriks koefisien, X sebagai matriks variabel, B sebagai matriks konstanta, dan I sebagai matriks identitas, maka langkah-langkah tersebut adalah sebagai berikut.

Baris pertama sampai kelima mengilustrasikan langkah-langkah bagaimana metode untuk menyelesaikan persamaan matriks. Dalam latihan yang sebenarnya, setelah menuliskan matriks-matriks dengan teliti, hanya langkah 5 yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks. Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan sistem persaman linear dengan menggunakan persamaan matriks, perhatikan Contoh 1 berikut.

Contoh 1: Menggunakan Ms. Excel untuk Menyelesaikan Persamaan Matriks

Gunakan Ms. Excel dan persamaan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut.

Pembahasan Seperti yang dibahas sebelumnya, sistem tersebut dapat dituliskan ke dalam persamaan matriks sebagai berikut.

Sehingga dengan bantuan Ms. Excel kita dapat menentukan nilai x, y, dan z pada persamaan matriks di atas.

Proses untuk menyelesaikan persamaan tersebut dalam Ms. Excel dapat dilihat dalam ilustrasi berikut.

Yang perlu diingat, “=MINVERSE(array)” dan “=MMULT(array1, array2)” merupakan rumus-rumus dalam Microsoft Excel untuk menentukan invers dan hasil perkalian dari dua matriks.

Sehingga, dari hasil di atas kita mendapatkan selesaian-selesaian dari sistem persamaan linear yang diberikan, yaitu x = 2, y = 3, dan z = 4. Untuk menguji kebenaran dari selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikannya kembali ke sistem.

Setelah dilakukan pengujian kembali, ternyata x = 2, y = 3, dan z = 4 merupakan selesaian dari sistem persamaan linear yang diberikan.

Metode persamaan matriks tersebut bukan tidak memiliki kelemahan. Perhatikan sistem persamaan linear yang apabila dituliskan ke dalam persamaan matriks sebagai berikut.

Setelah memasukkan elemen-elemen matriks A ke dalam lembar kerja Ms. Excel kemudian menentukan matriks inversnya, kita akan mendapatkan error sebagai berikut.

Untuk menyelidiki permasalahan ini, kita akan mencoba menentukan invers dari matriksA dengan menggunakan rumus invers matriks 2 × 2. Dengan a = 4, b = –10, c = –2, dan d= 5, kita peroleh

Karena pembagian oleh nol tidak terdefinisi, maka kita menyimpulkan bahwa matriks Atidak memiliki invers. Suatu matriks yang tidak memiliki invers disebut sebagai matrikssingular atau non-invertibel. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan persamaan matriks hanya dapat dilakukan apabila matriks koefisiennya invertibel. Semoga bermanfaat, yos3prens.

KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN PERKALIAN MATRIKS

Sumber: http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/kumpulan-soal-dan-pembahasan-perkalian.html

KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN PERKALIAN MATRIKS

Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Misalnya matriks ordo 2 x 3 dapat dikalikan dengan matriks ordo 3 x 3 tetapi tidak bisa dikalikan dengan matriks berordo 3 x 2 karena jumlah baris matriks ordo 3 x 2 tidak sama dengan jumlah kolom matriks ordo 2 x 3. Prinsip perkalian dua matriks adalah mengalikan komponen yang berada pada baris matriks pertama dengan komponen yang berada pada kolom matriks kedua. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh yang akan kita bahas. 

Konsep Perkalian Matriks


Bila, matriks A dan B seperti diberikan di bawah ini, maka A.B adalah sebagai berikut :

Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa ordo hasil kali dua buah matriks bergantung pada banyak baris matriks pertama dan banyak kolom matriks kedua.

Amxn . Bnxk = Cmxk

Misal :
A2x3 dikali dengan B3x3 akan menghasilkan matriks C2X3
A3X4 dikali dengan B4x2 akan menghasilkan matriks C3X2
A3X1 dikali dengan B1x3 akan menghasilkan matriks C3X3
A1X3 dikali dengan B3X1 akan menghasilkan matriks C1X1

Kumpulan Soal Perkalian Matriks
 1. Matriks A dan B masing-masing seperti di bawah ini. Tentukan A.B dan B.A


Pembahasan :
A2X2 dikali dengan B2X2 akan menghasilkan matriks 2x2.

 B2X2 dikali dengan A2X2 akan menghasilkan matriks 2x2.

Dari hasil yang diperoleh dapat kita lihat bahwa AB ≠ BA

2. Matriks P dan Q adalah sebagai berikut :
 Pembahasan :

P2X3 dikali dengan Q3X3 akan menghasilkan matriks 2x3.

 Contoh Soal Perkalian Matriks #1

3. Tentukan hasil kali K.M jika K dan M seperti di bawah ini.
 Pembahasan :

K3X1 dikalikan dengan M1X3 akan menghasilkan matriiks 3x3



4. Matriks A dan B masing-masing seperti di bawah ini.Tentukan A.B


Pembahasan :

A1X3 dikali dengan B3X1 akan menghasilkan matriks 1x1

5. Tentukan hasil dari A.B :

 Pembahasan :
A4X3 dikali dengan B3X2 akan menghasilkan matriks ordo 4x2


6. Bila matriks A merupakan matriks 2x2 seperti di bawah ini,
 maka tentukanlah A 2

Pembahasan :

7. Buktikan bahwa A.I = I.A.
Dengan matriks A seperti pada soal no 6 dan I matriks identitas 2x2.

Pembahasan :

Contoh Soal Perkalian Matriks #2

8. Tentukan A.B jika A dan B seperti di bawah ini.

 Pembahasan :
 Karena A2X2 dan B2X1 maka hasilnya adalah matriks ordo 2x1 seperti ini.

9. Berikan dua matriks A dan B yang memenuhi persamaan (A+B)2 = A 2 + B 2
 Pembahasan :
(A+B)2 = A 2 + B 2
 A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + B 2 ---> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BA A 2 + B 2 - A 2 - B 2 + AB + BA = 0
AB + BA = 0

Untuk tujuan praktis, anggaplah AB = 0 dan BA = 0 dengan begitu AB + BA = 0.
Beberapa syarat agar AB = BA = 0 antara lain :

Kedua matriks merupakan matriks persegi yang memiliki ordo sama karena jika ordo berbeda pasti AB tidak akan sama dengan -BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2 ≠ B3X2.A2X3. Kenapa? karena A2X3.B3X2 = C2X2 sedangkan B3X2.A2X3 = C3X3. Jadi melihat ordonya saja sudah jelas tidak mungkin sama.

 Kedua matriks memiliki komponen yang sama dengan komponen positif pada baris pertama dan komponen negatif pada baris kedua.

Misalnya matriks A dan B adalah :

Pembuktian : (A+B)2 = A 2 + B2


10. Berikan dua matriks yang memenuhi persamaan A 2 - B 2 = (A - B)(A + B)
Pembahasan :
A 2 - B 2 = (A - B)(A + B)
 A 2 - B 2 = A 2 + AB - BA - B 2 ---> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BA
A 2 - B 2 - A 2 + B 2 = AB - BA
0 = AB- BA
AB = BA

Beberapa syarat agar AB = BA antara lain:
Kedua matriks harus matriks persegi misal 2x2, 3x3 dan lain sebagainya.

 Kedua matriks harus memiliki ordo sama karena jika ordo berbeda pasti AB tidak akan sama dengan BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2 ≠ B3X2.A2X3. Kenapa? karena A2X3.B3X2 = C2X2 sedangkan B3X2.A2X3 = C3X3. Jadi melihat ordonya saja sudah jelas tidak mungkin sama.

Masing-masing matriks memiliki komponen yang sama di semua sel karena jika matriks mengandung komponen yang berbeda, saat dibalik maka hasilnya akan berbeda.

Misal matriks A dan B adalah sebagai berikut :




Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka diperoleh :
ak + bm = ka + lc
 al + an = kb + ld
 ak + dm = ma + nc
 al + dn = mb + nd
 untuk tujuan praktis, maka dapat dibuat a = b = c = d dan k = l = m = n.
 Salah satu alternatif yang dapat memenuhi persyaratan AB = BA adalah matriks persegi ordo 2x2 dengan komponen matriks sama di semua sel. misalnya seperti berikut :


Pembuktian :
A 2 - B 2 = (A - B)(A + B)

CARA MEMECAH TEKS DALAM SEL MENJADI BEBERAPA KOLOM DI EXCEL

http://rumuslengkap.com/excel-teks/cara-memecah-teks-dalam-sel-menjadi-beberapa-kolom-di-excel/

Cara memecah teks dalam satu sel menjadi beberapa kolom dapat dengan mudah dilakukan. Yang perlu diperhatikan karakter pemisah teks yang berada dalam satu sel apakah spasi, koma, tab atau karakter lain. Kasus ini biasanya ditemukan saat ingin memisahkan nama depan dan nama belakang, tempat dan tanggal lahir, membagi kata atau kalimat menjadi beberapa bagian dan berbagai kasus pemisahan teks atau karakter lainnya. Excel 2010 telah menyediakan tools untuk memisahkan teks tersebut yaitu “Text to Column”

Untuk bahan eksprimen, silahkan dibuat tabel seperti di bawah ini :

1. Di kolom A di sel A2 hingga A4 ketik teks seperti pada tabel di bawah ini, dalam kasus ini Setiap kata dipisah dengan spasi

2. Blok range A2:A4 , di Toobar pilih Text to Column

3. Akan muncul “Convert Text to Colum Wizard” berikut, Pilih Delimited, Klik tombol Next.

4. Masih dalam dialog “Convert Text to Colum Wizard” pada bagian This screen lets you set the delimitersyour data contains. You can see your text is affected in preview below, Pilih Space, Klik tombol Next.

5. Pada window berikut , pada bagian data forat pilih General, Klik Finish

6. Hasilnya akan terlihat seperti di bawah ini

Demikian cara memisahkan teks dalam satu sel menjadi beberapa sel atau kolom, hal yang sederhana pun tampak berharga dalam Microsoft Excel, ini menjadi salah satu pembuktian bahwa kesaktian Excel dapat menangani masalah apapun untuk dikerjakan secara efektif dan efisian. Semoga bermanfaat…